数学分析笔记-数的建立

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摘要：本文意在理清数的问题。若有错误，请大家指正。
关键词: 有理数,实数

这是测试文章：

一、数的建立

1、有理数的缝隙

数的建立是数学分析的基础。实数的最小上界性质是我们开启现代数学的钥匙。

关于$p=\sqrt{2}$的重要定律：

构造一个数 $\displaystyle z=\frac{2x+2}{x+2}=x-\frac{x^2-2}{x+2}$

同时令 $\displaystyle A=\{a\mid a^2<2,a\in \mathbb{Q}^+\}$

又有 $\displaystyle B=\{b\mid b^2>2, b \in \mathbb{Q}^+\}$

我们有 $\displaystyle z^2-2=\frac{2(x^2-2)}{(p+2)^2}$

即可证明
$\displaystyle A$ 里面没有最大的数
$$\begin{align}
x \in A,\to z \in A\,, z>x
\end{align}$$
$\displaystyle B$ 里面没有最小的数
$$\begin{align}
\,x \in B\to z \in B\,,0<z<x
\end{align}$$

这说明尽管有理数之间还有有理数，但是有理数系还是有空隙。而实数系填满了这些空隙，这就是实数系能在分析学中能起基础作用的主要原因。

$\displaystyle \ell \mathbb{ABC}$

二、行列式

行列式定义： $\displaystyle det: M_n(F) \to \Bbb{R} $

行列式表达式

$$\begin{align}
det(A)=\sum _{\sigma \in S_n}sgn(\sigma) \prod _{i=1}^n A_{\sigma(i)i }
\end{align}$$

$$\displaystyle
det(A)=\sum _{\sigma \in S_n}sgn(\sigma) \prod _{i=1}^n A_{\sigma(i)i }
$$

其中$\sigma$是集合$X=\{1,2,\,…\,n\}$上的置换：$\sigma: X \to X$。$S_n$是置换$\sigma$的集合,易知$S_n$是一个对称群。$\tau(\sigma)$是$\sigma$的逆序数。$\displaystyle sgn(\sigma)=\prod_{1\leqslant i<j\leqslant n}sign\big(\sigma(i)-\sigma(j)\big)=(-1)^{\tau(\sigma)}$是置换的符号函数。于是：

$$\displaystyle det(A)=\sum _{\sigma \in S_n}\prod_{1\leqslant i<j\leqslant n}sign\big(\sigma(i)-\sigma(j)\big)\prod _{i=1}^n A_{\sigma(i)i }=\sum _{\sigma \in S_n}(-1)^{\tau(\sigma)}\prod _{i=1}^n A_{\sigma(i)i }$$

简记为：
$$det(A)=\sum _{\sigma \in S_n} sgn(\sigma) \prod _{i=1}^n A_{\sigma(i)i }$$

三、【函数的极限】

令$X$和$Y$是度量空间，假设$E \subseteq X$、$\bm{f}$将$E$映入$Y$内、且$\bm{p}$是$E$的极限点。如果 $\forall \epsilon\,,\exists \delta>0$，对于 $\{\bm{x} \in E\mid 0<d_{X}(\bm{x},\bm{p})<\delta\}$中一切点 $\bm{x}$，使得 $\displaystyle d_{Y}(\bm{f}(\bm{x}),\bm{q})<\epsilon,\,\bm{q}\in Y$成立。就说:

$$\lim_{\bf{x} \to\bm{p}} \bm{f}(\bm{x})=\bm{q}$$

卷积
$\displaystyle \mathbf{C}=\mathbf{X}*\mathbf{W}$

$\displaystyle \bm{C}=\bm{X}*\bm{W}$

分段函数
$$\displaystyle f(n)= \left\{\begin{matrix} n/2, & \text {if $n$ is even} \\\ 3n+1, & \text{if $n$ is odd} \end{matrix}\right. \\
$$

$\displaystyle \begin{bmatrix} 1 & 2 \\\ 3 & 4 \end{bmatrix}$

我们可以看到 session.run专业我们就可以Variable

import tensorflow as tf
hello = tf.constant('Hello, TensorFlow!')
sess = tf.Session()
print(sess.run(hello).decode('utf-8'))

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