伽马函数

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一、 $\displaystyle \Gamma$函数

$$\begin{align}
\Gamma(x)=\int_0^\infty u^{x-1}\mathrm{e}^{-u}\mathrm{d}u\,,x>0
\end{align}$$

它有如下性质:
1、对于 $\displaystyle x\in(0,+\infty)$,有 $\displaystyle \Gamma(x+1)=x \Gamma(x)$成立
2、 $\displaystyle \Gamma(n+1)=n!\,,n=1,2,3,…$
3、 $\displaystyle \log \Gamma$在 $\displaystyle (0,+\infty)$上是凸的

1、若干引理

在证明上诉性质前:我们要证明 $\displaystyle \Gamma(x)$在定义域 $\displaystyle (0,+\infty)$内连续且可导的凸函数。我们先说明反常积分柯西判别法的两个引理

【引理1】
设 $\displaystyle f$定义在 $\displaystyle [a,+\infty)$,在任何有限区间 $\displaystyle [a,v]$上可积,且
$$\begin{align}
\lim_{x\to +\infty}x^p \left|f(x)\right|=\lambda
\end{align}$$则有:
1)当 $\displaystyle p>1,0\leqslant \lambda<+\infty$时, $\displaystyle \int_a^{+\infty}\left|f(x)\right|\mathrm{d}x$收敛,就是说:$\displaystyle \int_a^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x$收敛

2)当 $\displaystyle p\leqslant1,0<\lambda\leqslant+\infty$时, $\displaystyle \int_a^{+\infty}\left|f(x)\right|\mathrm{d}x$发散

与无界反常积分类似,也存在类似的瑕积分的判别方法
【引理2】
设 $\displaystyle f$定义在 $\displaystyle(a,b]$,其中 $\displaystyle a$位瑕点,在任何 $\displaystyle [v,b]\subset(a,b]$上可积,且
$$\begin{align}
\lim_{x\to a^+}(x-a)^p \left|f(x)\right|=\lambda
\end{align}$$则有:
1)当 $\displaystyle 0<p<1,0\leqslant \lambda<+\infty$时, $\displaystyle \int_a^b\left|f(x)\right|\mathrm{d}x$收敛,就是说:$\displaystyle \int_a^bf(x)\mathrm{d}x$收敛

2)当 $\displaystyle p\geqslant1,0<\lambda\leqslant+\infty$时, $\displaystyle \int_a^{+\infty}\left|f(x)\right|\mathrm{d}x$发散

于是做如下分析:
$$\begin{align}
\Gamma(x)=\int_0^1u^{x-1}\mathrm{e}^{-u} \mathrm{d}u+\int_1^{+\infty}u^{x-1}\mathrm{e}^{-u} \mathrm{d}u=\Phi(x)+\Psi(x)
\end{align}$$

根据引理1、2分析 $\displaystyle \Phi(x),\Psi(x)$。我们容易得出 $\displaystyle \Gamma(x)$函数的定义域是: $\displaystyle (0,+\infty) $

回忆一下:含参反常积分在 $\displaystyle E$上一致收敛概念:

然后我们归纳如下引理: 魏尔斯特拉斯 $\displaystyle M$判别法,以及含参反常积分一致收敛的可微性质。

【魏尔斯特拉斯 $\displaystyle M$判别法】

设有函数 $\displaystyle g(y)$,使得:
$$\begin{align}
\left|f(x,y)\right|\leqslant g(y)\,,(x,y)\in E\times[c,+\infty)
\end{align}$$
若 $\displaystyle \int_c^{+\infty}g(y)\mathrm{d}y$收敛。则 $\displaystyle \int_c^{+\infty}f(x,y)\mathrm{d}y$在 $\displaystyle E$上一致收敛 。
【含参反常积分一致收敛的连续性质】
设 $\displaystyle f(x.y)$在 $\displaystyle E\times[c,+\infty)$上连续。若 $\displaystyle F(x)=\int_c^{+\infty}f(x,y)\mathrm{d}y$在 $\displaystyle E$上一致收敛,则 $\displaystyle F(x)$在 $\displaystyle [a,b]\in[c,+\infty)$上连续。

【含参反常积分一致收敛的可微性质】
设 $\displaystyle f(x.y)$与 $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}$在 $\displaystyle E\times[c,+\infty)$上连续。若 $\displaystyle F(x)=\int_c^{+\infty}f(x,y)\mathrm{d}y$在 $\displaystyle E$上收敛, $\displaystyle \int_c^{+\infty}\frac{\partial f}{\partial x}\mathrm{d}y$在 $\displaystyle E$上一致收敛,则 $\displaystyle F(x)$在 $\displaystyle E$上可微,且:
$$\begin{align}
\frac{\partial F}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\int_c^{+\infty}f(x,y)\mathrm{d}y=\int_c^{+\infty}\frac{\partial }{\partial x}f(x,y)\mathrm{d}y
\end{align}$$

2、$\displaystyle \Gamma(x)$是在定义域 $\displaystyle (0,+\infty)$内连续且可导的凸函数

下面我们来说明 $\displaystyle \Gamma(x)$的内闭一致收敛性质,对于任意的 $\displaystyle [a,b]\subset (0,+\infty)$有

$$\begin{align}
\Gamma(x)
&=\int_0^1u^{x-1}\mathrm{e}^{-u} \mathrm{d}u+\int_1^{+\infty}u^{x-1}\mathrm{e}^{-u} \mathrm{d}u=\Phi(x)+\Psi(x)\\
&\leqslant\int_0^1u^{a-1}\mathrm{e}^{-u} \mathrm{d}u+\int_1^{+\infty}u^{b-1}\mathrm{e}^{-u} \mathrm{d}u<\infty
\end{align}$$同时考虑到 $\displaystyle u^{x-1}\mathrm{e}^{-u}>0$且是连续函数。由魏尔斯特拉斯 $\displaystyle M$判别法和含参反常积分一致收敛的连续性质知道 $\displaystyle \Gamma(x)$在 $\displaystyle [a,b]\subset (0,+\infty)$一致收敛且在第一域上连续。

同时我们考虑到:
$$\begin{align}
\int_0^{+\infty}\frac{\partial }{\partial x}\left(u^{x-1}\mathrm{e}^{-u}\right)\mathrm{d}u=\int_0^{+\infty}u^{x-1}\mathrm{e}^{-u}\ln u\mathrm{d}u
\end{align}$$

对于任意的 $\displaystyle [a,b]\subset (0,+\infty)$有
$$\begin{align}
&\int_0^{+\infty}\left|u^{x-1}\mathrm{e}^{-u}\ln u\right|\mathrm{d}y\\&\leqslant\int_0^1\left|u^{x-1}\mathrm{e}^{-u} \ln u\right|\mathrm{d}u+\int_1^{+\infty}\left|u^{x-1}\mathrm{e}^{-u}\ln u \right|\mathrm{d}u\\
&\leqslant\int_0^1\left|u^{a-1}\mathrm{e}^{-u} \ln u\right|\mathrm{d}u+\int_1^{+\infty}\left|u^{b-1}\mathrm{e}^{-u}\ln u \right|\mathrm{d}u<\infty\\
\end{align}$$
故 $\displaystyle \int_0^{+\infty}\frac{\partial }{\partial x}\left(u^{x-1}\mathrm{e}^{-u}\right)\mathrm{d}u$在 $\displaystyle [a,b]\subset (0,+\infty)$上一致收敛。于是由含参反常积分一致收敛的可微性质知道 $\displaystyle \Gamma(x)$在任意$\displaystyle [a,b]\subset (0,+\infty)$上可导,也是说在在定义域 $\displaystyle (0,+\infty)$上可导。
且有:
$$\begin{align}
\Gamma^{(n)}(x)=\int_0^{+\infty}u^{x-1}\mathrm{e}^{-u}\ln^n u\mathrm{d}u\,,x>0
\end{align}$$
容易知道: $\displaystyle \Gamma’’(x)>0$。于是就证明了:


$$\begin{align}
\Gamma(x)是在定义域(0,+\infty)内连续且可导的凸函数。
\end{align}$$

证明中,一些细节并未详细说明,但是这是简单的。所以请注意。

3、其他性质的证明

$$\begin{align}
\int_0^a u^{x}\mathrm{e}^{-u}\mathrm{d}u
&=-u^x\mathrm{e}^{-u}\big|_0^a+x\int_0^a u^{x-1}\mathrm{e}^{-u}\mathrm{d}u\\
&=-a^x\mathrm{e}^{-a}+x\int_0^a u^{x-1}\mathrm{e}^{-u}\mathrm{d}u\\
\end{align}$$
令 $\displaystyle a\to+\infty$有:
$$\begin{align}
\Gamma(x+1)=x\Gamma(x)
\end{align}$$

若 $\displaystyle x\in \mathbb{Z}^+$有:
$$\begin{align}
\Gamma(n+1)=n(n-1)\cdots 2\cdot \Gamma(1)=n!\int_0^{+\infty}\mathrm{e}^{-u} \mathrm{d}u=n!
\end{align}$$

4、 $\displaystyle \Gamma\big(\frac{1}{2}\big)=\sqrt{\pi}$

证明:
令 $\displaystyle A=\Gamma\big(\frac{1}{2}\big)=\int_0^\infty u^{-\frac{1}{2}}\mathrm{e}^{-u}\mathrm{d}u$,于是有:
$$\begin{align}
A
&=\int_0^{+\infty} u^{-\frac{1}{2}}\mathrm{e}^{-u}\mathrm{d}u\,,u=t^2\\
&=2\int_0^{+\infty}\mathrm{e}^{-t^2}\mathrm{d}t\\
&=\int_{-\infty}^{+\infty}\mathrm{e}^{-t^2}\mathrm{d}t
\end{align}$$

同时有:
$$\begin{align}
A^2
&=\int_{-\infty}^{+\infty}\mathrm{e}^{-x^2}\mathrm{d}x\int_{-\infty}^{+\infty}\mathrm{e}^{-y^2}\mathrm{d}y\\
&=\iint_{R^2}\mathrm{e}^{-(x^2+y^2)}\mathrm{d}x \mathrm{d}y\,,x=r\cos(\theta),y=r\sin(\theta)\\
&=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{+\infty}r \mathrm{e}^{-r^2}\mathrm{d}r \mathrm{d}\theta=\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}\mathrm{d}\theta=\pi
\end{align}$$

于是有:
$$\begin{align}
\Gamma\big(\frac{1}{2}\big)=\sqrt{\pi}
\end{align}$$


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